[2015년 운정고]

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[1학년 2학기 기말]

수열 [eqn: 1over11], [eqn: b_1], [eqn: b_2], [eqn: b_3], [eqn: 1]의 각 항의 역수로 이루어진 수열이 등차수열을 이룬다고 할 때, [eqn: 1over b_1 + 1 over b_2 + 1over b_3]의 값은?

①

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_4 = 24], [eqn: S_8 = 16]일 때, [eqn: S_n = -200]이 되는 [eqn: n]의 값은?

③

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

삼차방정식 [eqn: x^3 - 7x^2 +kx -8 =0]의 세 근이 등비수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비가 [eqn: r]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. 수열 [eqn: left{2a_n right}]은 공비가 [eqn: r]인 등비수열이다.

ㄴ. 수열 [eqn: left{a_n^2 right}]은 공비가 [eqn: r]인 등비수열이다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_n + a_n+1 right}]은 공비가 [eqn: r]인 등비수열이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음과 같이 정사각형을 가로방향으로 [eqn: 4]등분하여 [도형1]을 만들고, 세로방향으로 [eqn: 4]등분하여 [도형2]를 만든다.

[도형1]	[도형2]

[도형1]과 [도형2]를 번갈아가며 계속 붙여 아래와 같은 도형을 만든다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형1]의 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 [eqn: rmA]라 하고, [도형1]의 개수와 [도형2]의 개수를 합하여 [eqn: n]개 붙여 만든 도형의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 [eqn: {rmB} _{n}]이라 하자.

꼭짓점 [eqn: rmA]에서 꼭짓점 [eqn: {rmB} _{n}]까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_3 + a_9]의 값은?

④

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 46]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 52]

수열 [eqn: 1], [eqn: 1+2], [eqn: 1+2+4], [eqn: 1+2+4+8], [eqn: cdots]의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합은?

⑤

① [eqn: 2^10 -1]	② [eqn: 2^10 -12]	③ [eqn: 2^11 - 1]

④ [eqn: 2^11 -10]	⑤ [eqn: 2^11 -12]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항이 [eqn: 20], 공차가 [eqn: 3]일 때,
[eqn: sum_k=1^20 1over{roota_k + roota_k+1]의 값은?

④

① [eqn: -2root5]	② [eqn: - 2over3root5]	③ [eqn: root5]

④ [eqn: 2over3 root5]	⑤ [eqn: 2root5]

자연수 전체의 집합 [eqn: N]을 정의역으로 하는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

수열 [eqn: left{a_n right}]이
[eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 = a_n + (-1)^n left{f(n) -1right}] [eqn: (n=1,```2,```3,```cdots)]
을 만족할 때, [eqn: a_10]의 값은?

ㄱ. [eqn: f(1) = 2]

ㄴ. [eqn: x in N], [eqn: y in N] 에 대하여 [eqn: f(x+y)=f(x)f(y)]가

성립한다.

②

① [eqn: -259]	② [eqn: -340]	③ [eqn: - 1026 over3]

④ [eqn: 514]	⑤ [eqn: 1026]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 할 때,
[eqn: S_n = 1-(n+2)a_n][eqn: (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]
이 성립한다. 이때, [eqn: a_20 = q over p]([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)에서 [eqn: p+q]의 값은?

⑤

① [eqn: 127]	② [eqn: 155]	③ [eqn: 216]

④ [eqn: 457]	⑤ [eqn: 509]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 등식 [eqn: sum_k=1 ^ 2n+1 (n^2 + k) = n^3 +(n+1)^3]이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

위의 증명에서 [eqn: f(1)+g(1)]의 값은?

<증명>

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변)=9], [eqn: (우변)=9]이므로

주어진 등식은 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m][eqn: (m ge1)]일 때, 주어진 등식이 성립한다고

가정하면 [eqn: n=m+1]일 때,

[eqn: sum_k=1 ^ 2(m+1)+1 left{(m+1)^2 + k right}]

[eqn: = sum_k=1 ^2m+1 left{(m+1)^2 + k right} + [f(m)]]

[eqn: =sum_k=1^2m+1 (m^2 +k) + [f(m)] + [g(m)]]

[eqn: =(m+1)^3 + (m+2)^3]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때에도 성립한다.

③

① [eqn: 12]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 43]

서로 다른 세 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 [eqn: 3^x = 4^y = 6^z], [eqn: 1 over x + 1 over 2y + 1 over z =2]를 만족시킬 때, [eqn: 1 over x + 1over2y]의 값은?

③

① [eqn: 1 over 5]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: 0 < a < b < a^2]일 때, [eqn: A=rootrootab], [eqn: B=root {a root 3 of b}], [eqn: C=root 3 of {b roota}]의 대소 관계로 옳은 것은?

②

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]	③ [eqn: B<C<A]

④ [eqn: C<A<B]	⑤ [eqn: C<B<A]

세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: log_{b^2 - c^2} (a^2 - b^2 )]의 값이 존재할 때, 그 값이 존재하는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: log_{a-c} (b^3 - c^3 )]

ㄴ. [eqn: log_{b-c} (a-b)]

ㄷ.[eqn: log({1 over {root b of c} - 1 over {root b of a} )]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

부등식 [eqn: 1<a<b<a^2 <10^3]을 만족시키고 [eqn: log_a b]가 유리수인 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 최댓값은?

④

① [eqn: 144]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 225]

④ [eqn: 270]	⑤ [eqn: 315]

다음 두 조건을 만족시키는 실수 [eqn: x]를 모두 곱한 값은 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: logM] 의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

③

(가) [eqn: [logx]=5]

(나) [eqn: logx ^{2} -[logx ^{2} ]=log {1} over {x} -left[log {1} over {x} right]]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 26]

서술형

이달 초의 [eqn: 95]만 원짜리 노트북을 구입하는데 처음 구입 시 [eqn: 45]만 원을 주고 나머지 금액은 이달 말부터 매달 일정한 금액을 [eqn: 6]개월에 걸쳐 갚기로 하였다. 매달 얼마씩 갚아야 하는지 구하는 과정과 답을 서술하시오. (단, 월이율 [eqn: 1%]의 복리, [eqn: 1.01^6 = 1.06]으로 계산하여, 백원 단위에서 반올림 한다.)

[eqn: 8만```8천원]

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_1 = 1], [eqn: a_2 =1]이고,
[eqn: a_n+2 = a_n+1 +3a_n] [eqn: (n=1,```2,```3,```cdots)]
이 성립할 때, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_3n]이 [eqn: 4]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

1) [eqn: a_3 =4]는 [eqn: 4]의 배수이다.

2) [eqn: a_3k]가 [eqn: 4]의 배수라 가정하자.

[eqn: a _{3k+3} =a _{3k+2} +3a _{3k+1}# `````````````````````=(a_3k+1 +3a_3k )+3a_3k+1# `````````````````````=4a_3k+1 +3a_3k]

에서 [eqn: a_3k+3]이 [eqn: 4]의 배수이다.

수열 [eqn: left{b_n right}]이 다음과 같을 때, 물음에 답하시오.

(1) [eqn: { n+1} over {2 }]

(2) [eqn: 10], [eqn: 10], [eqn: 65over2]

[eqn: {1} over {1} ,``` {1} over {2} ,``` {2} over {2} ,``` {1} over {3} ,``` {2} over {3} ,``` {3} over {3} ,``` {1} over {4} ,``` {2} over {4} ,``` {3} over {4} ,``` {4} over {4} ``,```` CDOTS]

(1) 수열 [eqn: left{b_n right}]의 항을 첫째항부터 분모가 같은 분수끼리

묶을 때, 제[eqn: n]묶음의 모든 항의 합을 구하는 과정과

답을 서술하시오.

(2) [eqn: b_55]는 몇 번째 묶음의 몇 번째 항인지 서술하고,

[eqn: sum_k=1^55 b_k]의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b] 에 대하여 [eqn: a<b]이면 [eqn: 2^a <2^b]이 성립한다. 이를 이용하여 연립방정식 [eqn: cases{ p+q=2^x # pq=2^y}]에 대한 물음에 답하시오.

(1) [eqn: y le 2x-2]

(2) [eqn: 4]

(1) 양수 [eqn: p], [eqn: q]가 존재하기 위한 실수 [eqn: (x,```y)]의 조건을 구하고,

만족하는 영역을 그래프로 그리시오.

(2) 모든 양수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: (pq)^2 =(p+q)^n]을 만족시키지

않는 양의 정수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[2015년 운정고]

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[1학년 2학기 기말]

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